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  <title>三体运动没有解析解，那么自然界又是如何运行的呢？ | 张晨刚</title>
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  <meta name="description" content="三体问题没有能用显式表达的解，但是它有  的实解析解，这是由ODE的理论保证的，解的正则性很完美。 麻烦的地方在于所谓的混沌性。一般我们说一个动力系统是混沌的，如果同时满足： 1. 初值敏感性。两个在0时刻任意近的点都会在时间足够大后分离的足够远。 2. 拓扑传递性。有一条轨道在相空间里是稠密的。 3.周期轨道的集合在相空间里是稠密的。 在混沌系统里，数值模拟会在长时间后变的不准确，这是由系统本身">
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    <a href="/2018/04/12/三体运动没有解析解，那么自然界又是如何运行的呢？/" class="article-date">
  <time datetime="2018-04-12T14:00:09.000Z" itemprop="datePublished">2018-04-12</time>
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      三体运动没有解析解，那么自然界又是如何运行的呢？
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        <p>三体问题没有能用显式表达的解，但是它有 <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=C%5E%5Comega" alt="C^\omega"> 的实解析解，这是由ODE的理论保证的，解的正则性很完美。</p>
<p>麻烦的地方在于所谓的混沌性。一般我们说一个动力系统是混沌的，如果同时满足：</p>
<p>1. 初值敏感性。两个在0时刻任意近的点都会在时间足够大后分离的足够远。</p>
<p>2. 拓扑传递性。有一条轨道在相空间里是稠密的。</p>
<p>3.周期轨道的集合在相空间里是稠密的。</p>
<p>在混沌系统里，数值模拟会在长时间后变的不准确，这是由系统本身的性质决定的。三体问题，以及天气预报都属于混沌系统。注意，尽管我们没有显式解，数值模拟也会在长时间失效，我们依然可以定性地去分析这个解，这就是庞加莱的伟大创见。</p>
<p>根据Etienne Ghys，我们可以把动力系统的发展分成三个阶段 :-)</p>
<p>1. 牛顿时代：我们有一个ODE，我们的任务是找到它的(显式)解。</p>
<p>2. 庞加莱时代：我们有一个ODE，我们的任务是对它的解说点什么。</p>
<p>3. 托姆-斯梅尔时代(也就是当下)：我们没有ODE，但是要对它的解说点什么。-_-#</p>
<p>解释一下最后一条。为什么说我们没有ODE？因为限于实验手段的误差，我们实际上得到的是一族参数下的ODE，我们不知道参数的准确值。这个时候我们就要对这一族ODE的解说点什么。</p>
<p>……………………………………………………………………分割线…………………………………………………………………..</p>
<p>更新一个托姆-斯梅尔风格的例子：</p>
<p>考虑最简单的一维实动力系统： <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=f%3A+I%5Crightarrow+I" alt="f: I\rightarrow I"> ，其中 <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=I%3D%28-1%2C1%29" alt="I=(-1,1)"> ， <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D1-ax%5E2" alt="f(x)=1-ax^2"> ，其中 <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=a%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D" alt="a\in \mathbb{R}"> 为参数。我们考虑以下的动力系统：一个点 <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=x" alt="x"> 的轨道为： <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7Bx%2Cf%28x%29%5Ccdots%2C+f%5E%7B%5Ccirc+n%7D%28x%29%2C%5Ccdots%5Cright%5C%7D" alt="\left\{x,f(x)\cdots, f^{\circ n}(x),\cdots\right\}"> ，其中 <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%7B%5Ccirc+n%7D" alt="f^{\circ n}"> 为 <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=n" alt="n"> 次迭代。我们有如下结果：</p>
<p><strong>定理 (Avila-Lyubich) </strong></p>
<p><strong>对于几乎所有的</strong> <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=a" alt="a"><strong>(Lebesgue测度意义下), 我们有如下的dichotomy：</strong></p>
<p><strong>(1) 几乎所有的</strong> <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cin+I" alt="x\in I"><strong>会趋向于一个attracting cycle（有限个点组成的周期轨道）</strong></p>
<p><strong>或者</strong></p>
<p><strong>（2）存在一个关于Lebesgue测度绝对连续的不变测度</strong> <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu" alt="\mu"><strong>，几乎所有的点要么趋向于</strong> <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu" alt="\mu"><strong>要么趋向于一个attracting cycle。</strong></p>
<p>在上面的结果里，我们并没有对一个具体的 <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=f_a" alt="f_a"> 说什么，但是我们对几乎所有的 <img src="//www.zhihu.com/equation?tex=f_a" alt="f_a"> 的动力系统作出了结论。</p>
<p>来源：知乎 <a href="http://www.zhihu.com" target="_blank" rel="noopener">www.zhihu.com</a></p>
<p>作者：<a href="http://www.zhihu.com/people/ji-zhu-chao?utm_campaign=rss&amp;utm_medium=rss&amp;utm_source=rss&amp;utm_content=author" target="_blank" rel="noopener">Zhuchao Ji</a></p>
<p>【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。<br>        <a href="http://daily.zhihu.com?utm_source=rssyanwenzi&amp;utm_campaign=tuijian&amp;utm_medium=rssnormal" target="_blank" rel="noopener">点击下载</a></p>
<p>此问题还有 <a href="http://www.zhihu.com/question/271564277/answer/362435686?utm_campaign=rss&amp;utm_medium=rss&amp;utm_source=rss&amp;utm_content=title" target="_blank" rel="noopener">55 个回答，查看全部。</a></p>

      
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